摘要：文章通过对我国文献记载的三分损益法导生五声音阶及十二律原理的分析阐释，说明该原理可用以考证成组玉石璧能否作为标准律器。选用三星堆出土成组玉石璧（11件、七声音阶）测音数据，运用三分损益法和半音音阶推律法（本课题首用）换算该组璧律比关系，再用复原实验仿制成组璧测音数据加以验证。研究证明：成组玉石璧的律比关系完全符合我国传统十二律生律规则，可以作为周代以“璧羡之法”(以黄钟律为标准，以成组玉石璧为承载物)，进行“同律度量衡”改革的标准用器。
关键词：成组玉石璧；早期 “同律度量衡”；关联性
中图分类号：J60-05文献标识码：A文章编号：1004-2172（2014）03
前期研究成果。成组玉石璧是我国先民在长期生产实践中创制的一类特殊器类。20世纪以来，我国考古学界在黄河流域和长江流域发掘出土了上千件玉石璧，多以两件以上组合形
基金项目： 本文系国家社科基金项目“成组玉石璧在 ‘同律度量衡’改革中的作用——兼论中国礼乐文明的形成”阶段性研究成果，项目编号：10XZS003。
作者简介：幸晓峰（1951—）女，博士研究生结业，四川大学访问学者，四川省社会科学院教授、研究员。
韩宝强（1956—）男，博士，中国音乐学院教授，科技音乐系主任。
沈博 （1978—）男，四川省社会科学院2013级在读硕士研究生。
胡岩 （1987—）男，硕士，北京K0E环境产业集团项目主管。
式埋藏。在本课题前期研究中，运用国际通用电子设备技术，对符合一定形制尺寸标准的成组玉石璧进行音乐声学测量，证明成组玉石璧具有良好的音乐性能，其中4组构成五声音阶或七声音阶。其功能主要体现在两个方面：其一是可以入乐，作为祭礼仪式中的乐舞用器；其二是可以作为 “同律度量衡”标准用器。
我国“同律度量衡”改革，可以分为两个阶段。其中，从原始社会末期到周代，为第一阶段。改革的核心问题，是找到“律度”换算规律；确定了以黄钟律为基准，以成组玉石璧为承载物，完成律度量衡同一标准化改革。《史记•本纪》对“同律度量衡”改革史实作了连续记载，时限自虞舜时期至周代。《周礼•考工记》记载：“璧羡度尺，好三寸，以为度”， 明律学家朱载堉和清末古物收藏家吴大瀓，分别从理论和实验两方面，证明以璧羡换算“以律出度”的可信性和正确性，称之为“璧羡出度之法”或“璧羡出度” “璧羡之法”，文献中也称为“周制”或“古制”。
本文选用三星堆出土成组玉石璧（11件、七声音阶）测音数据，运用三分损益法和半音音阶推律法（本课题首用）换算该组璧律比关系，再用复原实验仿制成组璧测音数据加以验证，作探索性研究，以求教于专家学者。
一、采用的主要方法
我们采用的主要方法：以三星堆真武仓包包复原实验得到的测音数据为蓝本，运用半音音阶推律法和三分损益法，首先演算成组璧律比关系，再对复原璧数值进行模拟并加以验证。
针对的主要问题：已得知出土成组玉石璧本身具有的音乐性能（即音名、音高、音频、音分等数据），这些成果向我们展示出不同于古文献中记载的传统方法，即以律管长度生律方法，但是成组璧音高之间的比率关系，是否符合五度相生的规律，当基础音确定后，能否通过三分损益法导出其他各音呢？同时，由于该组玉石璧已测出七声音阶，是否又可以运用八度相生原理，以大小半音生律法，即用弦长变化为比例形成的律比关系，通过主音引导出其他各音呢？
首先对三分损益法和半音音阶推律法的基本原理和计算方法作简要介绍。
（一）三分损益法推导五声音阶
三分损益法，是我国古代制定音律时所用的生律法，影响我国音律计算达两千年之久。三分损益法最早见于春秋时期《管子•地员》篇，用物体的长度比率，导算五声音阶的五个音高值。
“凡将起五音，凡首先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽。有三分，去其乘，适足，以是成角。”
——《管子•地员》
文义可表述为：要得到五音，先设置一个主音，主音定为1乘以3，再连续乘4次，即3连续乘4次，得到81，以81为首音，定为“宫音”的音高。然后，将其长增加1/3，也就是将81乘上4/3，得到108，定为“徵音”。将徵音的长度减去原来的1/3，即将108乘上2/3，得到72，定为“商音”。再增加1/3（三分益），72乘4/3，得96，为“羽音”。再减1去1/3（三分损），96乘2/3，得64，为“角音”。
具体步骤：先求宫律81，再增加81的1/3，即27，得出108，定为徵；再以徵律108，减去它的1/3，即36，得出72，定为商；再增加商72的1/3，即24，得出96，定为羽；再减去羽的1/3，即32，得出64，定为角。
由三分损益法求得的“五音”音高值分别为：
1×34 =81……宫
81 × 4/3= 108……徵
108 × 2/3 =72…… 商
72 × 4/3=96…… 羽
96 × 2/3=64…… 角
用三分损益法导出的五声音高值的律比关系，也被称为三分损益律。《史记•律书》中“律数”一节对此作了换算。
九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。
——《史记•律书》
《史记•律书》与《管子•地员》所记三分损益法导算顺序不同的是，以宫律81为主音，先采用三分去一，得出“徵律”为54；而管子以宫律81为主音，先采用三分益一，得出“徵律”为108。前者是后者的一半，即1/2。如果将两种结果重叠对照，可以得到1：2的比例，说明三分损益法本身包含八度概念及八度相生。两种方法相同，“益”为增加长度的1/3，“损”为减去长度的1/3，（即1- 1/3）。计算方法将“益”或“损”两个步骤交替演算，把长度乘以4/3（即1+1/3），得到的数值向上，称为“上生”；把长度乘以2/3（即1-1/3），得到的数值向下，称为“下生。”
（二）三分损益法导算十二律
我国传统十二律是用三分损益法将一个八度分为12个不完全相同的半音的一种律制。十二律的名称及其原理，最早记载在《国语•周语》中“周景王与伶州鸠论乐”篇（公元前522年），该篇虽然记载了十二律的名称及排列，却没有对十二律的换算方法作出描述。《吕氏春秋•音律》篇详细记载了运用三分损益法计算十二律的具体步骤，即传统的生律法。古文献记载及其原理解读如下：
1.《周景王与伶州鸠论乐》篇
王将铸无射，问律于伶州鸠。对曰：“律所以立均出度也。古之神瞽考中声而量之以制，度律均锺，百官轨仪。纪之以三，平之以六，成于十二，天之道也，夫六，中之色也，故名之曰黄锺，所以宣养六气、九德也。由是第之。二曰太蔟，所以金奏赞阳出滞也。三曰姑洗，所以修洁百物，考神纳宾也。四曰蕤宾，所以安靖神人，献酬交酢也。五曰夷则，所以咏歌九则，平民无贰也。六曰无射，所以宣布哲人之令德，示民轨仪也。为之六间（即六吕），以扬沈伏，而黜散越也。元间大吕，助宣物也。二间夹锺，出四隙之细也。三间仲吕，宣中气也。四间林锺，和展百事，俾莫不任肃纯恪也。五间南吕，赞阳秀也。六间应锺，均利器用，俾应复也。”
—— 《国语•周语》
乐官州鸠关于“律”的论述，使我们了解到春秋战国时期，古人已经建立了“律度”计算的标准及推导方法。“立均”是指确定音阶中各音的位置；“出度”是指相应各律的振动体的长度标准。由此界定：“律”是用来确立不同音高和计算器物长度的标准。而律的制定与度、数结合。汉人韦昭注释：“均者，均钟木，长七尺，有弦系之，以均钟音。”也说明当时用于调音的标准律器已经产生。曾侯乙墓出土“均钟木”，就印证了这一点。
文中记载：十二律的起源和形成，最初是由“神瞽”考订一个音称为“中声”，将这个音作为一种定制。而后根据“中声”制造符合律度标准的均钟，规范各种轨仪。十二律的形成，以中声为标准，先确定三个律，均分为六个律，再在六律之间形成六个间隙律，成为十二律。律的考订是以音高为基础的，如果将黄钟律作为第一个律，递次计算，就可以得到另外十一个律。先确定奇数律：黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射；再在每两个奇数律的中间，递次增加六个偶数律：大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟，形成十二律。奇律称六律，为阳律；偶律称“六间”（或六吕），为阴律。
州鸠论律，将我国十二律的起源，追溯到传说时代的“神瞽”定中声，即尧舜时期。黄钟律为首，以为宫律。十二律的形成，与阴阳概念对应，间隙律的推导包含着平均两阳律的观念。律的制定与度、数结合在一起。可见我国在春秋战国时期，已经有了比较成熟的律学观念。十二律的推导不但严密，而且与我国早期数学和阴阳学紧密联系。
州鸠论律虽然表明十二律的形成和排列，是通过计算得到的，但却没有具体阐述生律的规则和计算方法。
2．《吕氏春秋》中的《古乐》篇和《音律》篇
《吕氏春秋》是我国先秦文献中写作年代可考的著作，成书于秦始皇即位之后5至8年，汉代已广为流传。其中对音乐起源、原始音乐的记载，代表了秦汉时期我国知识阶层对音乐的认知水平，也为后人研究史前音乐留下了珍贵的资料。
《古乐》篇记载了我国十二乐律起源，《音律》篇记载了我国乐律是以“黄钟宫”为本，上下生之，即用三分损益法计算推导十二律的具体步骤方法。
关于十二律的起源，引用最多的是《吕氏春秋•古乐》篇：
“昔黄帝令伶伦作为律，伶伦自大夏之西，乃之阮隃之阴，取竹以为黄钟之宫，吹曰舍少。次制十二筒，以之阮隃之下，听凤凰之鸣以别十二律。其雄鸣为六，雌鸣亦六，以比黄钟之宫，适合；黄钟之宫，皆可以生之。故曰：黄钟之宫，律吕之本。黄帝又令伶伦与荣将，铸十二钟，以和五音，以施英韶。以仲春之月，乙卯之日，日在奎，始奏之，命之曰咸池。”
——《吕氏春秋•古乐》
本段记载的基本观念延续前人。以鸟鸣之音为制律的本源，与达尔文关于音乐起源于交配时的鸟鸣之音的理论相符，可知我国先民对音乐的感知和认识是符合音乐起源于模仿自然之音原理的，也反映出我国乐律体系的形成与早期哲学思想相结合的特点。我国先民将对候气阴阳之说的观念运用在起律概念中，凤为雄，成六阳律；皇为雌，成六阴律，合为十二律。同时将阳律之首，定为黄钟宫律，又与我国早期国家文明起源中，关于舜帝具有音乐禀赋的传说结合在一起，蕴涵着国家文明起源进程中逐步形成的“天子”与“万民”的观念。由此可以看出，六律之所以被作为“万事根本”，又以黄钟律为十二律中的基本律，并作为我国古代“同律度量衡”的标准，除这一制度本身的规律外，与我国远古时代对天文、候气等自然规律的认识和哲学观念，以及对早期国家起源形成的观念是联系在一起的。
《吕氏春秋•音律》篇记载了用三份损益法求十二律的计算方法：
“黄钟生林钟，林钟生太蔟，太蔟生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生，益之一分以上生。三分所生，去其一分以下生。黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上，林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。”
——《吕氏春秋•音律》
对十二律的推导，同样运用三分损益法，计算方法与五声音高计算方法相同：
黄锺︰81；
林锺（由黄锺三分损而来）︰81 × 2/3 = 54；
太簇（由林锺三分益而来）︰54 × 4/3 = 72；
南吕（由太簇三分损而来）︰72 × 2/3 = 48；
姑洗（由南吕三分益而来）︰48 × 4/3 = 64；
应锺（由姑洗三分损而来）︰64 × 2/3 = 42.6667；
蕤宾（由应锺三分益而来）︰42.6667 × 4/3 = 56.8889；
大吕（由蕤宾三分益而来）︰56.8889 × 4/3 = 75.8519；
夷则（由大吕三分损而来）︰75.8519 × 2/3 = 50.5679；
夹锺（由夷则三分益而来）︰50.5679 × 4/3 = 67.4239；
无射（由夹锺三分损而来）︰67.4239 × 2/3 = 44.9492；
仲吕（由无射三分益而来）︰44.9492 × 4/3 = 59.9323；
我国十二律的计算方法，以五度相生原理为基础，以黄钟宫为首，采用将物体长度增加或减少1/3的方法，推导演算出各律。上生五度和下生四度的方法推算，与古希腊“五度相生律”（又称毕达哥拉斯律）原理相同；同时也符合八度相生的概念和演算过程。八度相生的计算方法，在十二律的演算中，表现在上生得出蕤宾律之后，本来应该下生大吕律，但是却在蕤宾生大吕律的演算中，改用上生，这样就形成连续两次上生，使大吕律回到八度范围内，其比率为1/2。八度相生的原理主要用于解决“倍律”（低八度）和“半律”（高八度）的演算，在演奏中可以“旋宫转调”。 十二律可以根据不同朝代对黄钟律音高标准的变动，而随之变动。十二律各律名的音高与西洋夷乐十二调大致相当：黄钟 C、大吕 #C 、太蔟 D、 夹钟 #D（或be）、 姑洗 E、 仲吕 F、 蕤宾 #F（或bG）、 林钟 G、 夷则 #G（或bA）、 南吕 A、 无射 #A（或bB）、应钟 B 。
3.当代律学理论演绎十二律及本课题研究方法提示
本课题组成员程贞一（JosephC. Y. Chen）美国加州大学圣迭戈分校（USCD）物理学终身教授，著《黄钟大吕——中国古代和十六世纪声学成就》一书，对中国传统律学作了创造性论述及精确演算，本课题运用程先生律学研究方法及理论，引用处分别注名章节。先生对《管子》和《吕氏春秋•音律》记载的三分损益法，作过极为精确的验算和论证，证明了“三分损益法包含确切的八度概念和八度的基本演算。” 程先生对八度相生的推算，使用了两种方法，其一是《管子》五声音阶推算法的相生途径。用4/3上生和用2/3下生，用图示 设X（值），由X分别上生Y1、下生Y2，两者都得出纯五度，但是值得注意的是用2/3下生，得出纯五度，相当于减少振动弦长度的1/3；用4/3上生，得到的也是纯五度，但却低了八度，因为振动弦加上1/3后，相当于先削减原弦长的1/3，再把余下部分的长度增加一倍。这就说明，从X下生出的Y2音，也可以由一个生律途径得到。因此，从同一个X音上生或下生出的Y1和Y2，恰恰是两个相差八度的纯五度。《管子》利用纯五度作为生律音程，是一个五度相生法。通过上生和下生两个步骤推生律音，而这两个步骤的选择是在八度范围内，这就是上下相生的原理。也可以表述为，用纯五度来导生所有的律音，在必要时，用纯八度来保证所生律音回到同一个八度内。由此，上下相生原理确保所得音阶的各个律音，最终定位于同一个八度内，这种方法用的是谐律纯五度2/3和纯八度1/2，符合和谐律音响的条件。
其二，是用《吕氏春秋》所记载的，在八度之内十二律音的生律途径上，每一步都可以选择由一个八度转移到另一个八度（证明方法略，请参考原著）。
通过两种方法的证明，程先生得出的最终结论是，根据五度相生原理，即上文所述：用纯五度来导生所有的律音，在必要时，用纯八度来保证所生律音回到同一个八度内。说明《吕氏春秋》三分损益相生法，实质上就是《管子》五声音阶推算法。两者的不同在于，《管子》推算的仅仅是五声音阶，在八度范围内导生五个音高；而《吕氏春秋》推算的是半音音阶，在八度范围内导生十二个半音。
程先生对五度相生和八度相生的推算，对本课题论证成组玉石璧可以作为标准律器，给出了极具说服力的理论支撑。前期研究成果音乐声学测量，已证明有4组玉石璧构成五声音阶或七声音阶，可用《管子》五声音阶相生法验证构成五声音阶成组璧，用《吕氏春秋》导生十二半音音阶法验证七声音阶成组璧。仅从理论上已可以作出判断，成组玉石璧的律比关系，必然符合我国传统算律法得出的律音值，因此，成组玉石璧可以作为标准律器，也可以承担“同律度量衡”标准用器的功能。
先秦时期，我国度量衡名称繁多，因所用进位不同，定名也不同，其中以“八”进位定名，与八度相生有密切联系，以“四”进位定名，或者取八的1/2，或者与“纯四度”关联，以“五”定名，与五声音阶对应。明代律学家考“同律度量衡”古制，作过论述。如朱载堉引《说文》“十寸为尺，八寸为咫”，解释尺、咫为两种器物；又“古代制器所用进位不同，十寸为尺，以十进位；咫（八寸为咫）、寻、常、豆、区、鬴、钟、铢、两、斤、石，以四进位或以八进位。”又“八尺为寻，倍寻为常” “音以八相生……故八尺而为寻。” “音之数五，五八四十，故四丈而为匹” 等。我国近代学者吴承洛持同样看法，认为我国古代度量衡与律学紧密联系，并对度、量、衡权标准单位的确定，与音律的关联作了对应研究。
程先生还对十二律中的纯四度作了精确的演算，证明略升的四度只出现在十二律调中的一个律调之内，其他十一个律调中，四度的比率确确实实是3:4。并且证明《管子》所载徵调五声音阶的推算中就有纯四度。再通过文献印证说明：中国古代很早就理解旋宫原理，确实用过十二律中的每个律作基音，因此所有十二个律调都很活跃，这也是中国音阶的一般特点。
这一特点与中国以祭祀为国之大事，祭祀必用乐舞的悠久历史分不开。《尚书》中多处记载比较完备的乐舞。《史记•五帝本纪》及其他史书，将祭祀先组仪式追溯到虞舜时期，而“同律度量衡”改革也起始于这一时期，可以有力证明，我国五声音阶和十二律的产生和应用，的确历史悠久，独立创造。除用于祭祀礼仪乐舞，达到协乐目的外，很可能也用于对承担“同律度量衡”标准器的成组玉石璧进行调音。
（三）半音音阶推律法
程贞一先生在《黄钟大律》一书中，运用大小半音音阶推律法，成功演算曾侯墓编钟律比关系，并对该方法作了精确演算，自定名为“曾—角法” 。学术界一般认为，利用大小半音成功演算中国音律的验证，由程先生首开。简要地说，半音音阶推律法是在三分损益法给出3/4比率的基础上，再对一个八度范围内的一列音阶，按照大小半音的变化，引入8/9的比率，将3/4与8/9两种比率交叉用于律比换算，可以解决旋宫转调问题。
8/9的比率，在《史记•律数》 中有记载，简要介绍如下：
生钟分：注索隐：此算术生钟律之法也。
子一分。丑三分二。寅九分八。卯二十七分十六。……索隐十二律以黄钟为主，黄钟长九寸，太蔟长八寸，寅九分八，即是林钟三分益一，上生太蔟之义也。
此段文意可释读为：《史记•律数》所记“生钟分”，是用算术生律的方法。十二律以表示黄钟律的物体长度为基础，当子—黄钟长9寸时，表示太蔟律的物体长度为8寸，那么求寅—太蔟律的比率，就是8/9。也可以用丑—林钟的长度增加1/3，上生4/3而得到太蔟律，表示为2/3 × 4/3 = 8/9。《史记•律数》中虽然记载了8/9这个比率，由于不能被管长的演算证明，所以一直没有被采用。
程先生对半音音阶推律法的论述，以七声音阶为基础，首先介绍了毕达哥拉斯七声音阶理论，并分析了大调七声音阶与三分损益十二律音阶之间的关系。通过比较，得出《吕氏春秋》三分损益音阶中内嵌七声音阶，三分损益十二律调中有七个具有与完全音阶大调完全一样的七声音阶结构：“大吕—宫” “太簇—宫” “姑洗—宫” “蕤宾—宫” “林钟—官” “南吕—宫”和“应钟—宫”。通过对照曾侯乙墓出土编钟上的铭文刻有“黄钟—宫” “太簇—宫” “姑洗—宫” “妥（蕤）宾—宫”等律调，证明最迟在公元前5世纪，中国已熟练应用“旋宫转调”。
根据上述理论，程先生制作出一套图表，演示了运用三分损益法3/4和半音音阶推律法8/9两组比率，相互运算，推导我国传统十二律的生律规律，将八度内各半音间律比关系，完全涵盖在图示的生律圆环中，清晰而详尽地反映出各律间的律比关系。见下图：
图1《管子》五声音阶的音程结构图示（《黄钟大吕》90页）
此图示排列，可见推算音程之比例是如何按顺序分配于所定音名之间，由这些比率可得出各律音之音程。
图2利用三分损益法导生十二律之半音音阶之间八度关系示意图。（请参见《黄钟大吕》75页）
本图演示用三分损益法导生十二律半音音阶之间八度关系，说明《吕氏春秋》用三分损益法生律使用了八度概念，而且包含了八度的基本演算。
图3 《吕氏春秋》十二律音阶的半音结构示意图（《黄钟大吕》88页右图）
此图示说明《吕氏春秋》三分损益十二律是一个二比律音律系统，包含两种半音结构，即大小半音结构，因此，对调式转换有一定容纳性。该图示也是对朱载堉所创制等比律“循环无端”特性的四种方法之一的证明示意图。
通过以上图示演示可知，七声音阶的频率比有两种：D与C、E；D、G与F、A；G、B与A 之间的频率比都是8/9，即全音音阶比值；F与E、；F与B之间的频率比都是243/256（也即3/44），即半音音阶比值。通过循环计算，可以推导得出在给定基音条件下计算频率的简化公式，以数学方式表示如下：
logfn=logf0[nlog3-（n+a）log2 ，（a为n乘以 [（log3-log2）/log2] 的整数部分）。
本课题采用此公式，推导三星堆真武仓包包出土成组玉石璧的律比关系，下文作详细演示解说。
本课题前期研究，用计算机辅助对出土成组玉石璧进行音乐声学测量，其中有两组测出七声音阶结构；曾对盐亭出土的10件组合璧的七声音阶结构作过分析，并通过对三星堆真武仓包包出土11件成组璧的复原调音实验加以验证。
将半音音阶推律法和三分损益法的两个比率交叉运用，可以在脱离律管或其他乐器音高值的情况下，仅仅通过律比关系自身换算，就能够推生出八度内各音。程贞一先生运用此法成功演算曾侯乙编钟各律，证明这种方法简洁而且准确。从理论上看，这种方法同样可以用于同为打击乐器的玉石璧的律比换算，在以黄钟音为给定主音的情况下，运用8/9和3/4两种比率，换算出其他各音律比数值。本文采用此法，进行一组玉石璧律比关系演算。
（四）模拟验证法
模拟实验法，是我们用于对原璧制造时是否经过设计采用的验证方法。假如原出土成组玉石璧符合以上的演算结果，也就说明成组玉石璧符合这些律比关系。但是偶然的巧合是普遍存在于理论实验中的，在科学理论的论证中，必须排除掉这些巧合。排除掉这些巧合，同时也就排除掉出土的成组玉石璧由于年代因素可能存在的误差。我们再通过对仿制的成组玉石璧进行换算，验证原璧律比关系计算的正误。如果仿制成组玉石璧换算数值不符合律比关系，那么即使原璧的律比关系符合程度再高，它也仅仅可能只是一组完美而又碰巧能够作为律器的打击乐器，说明制作者并未赋予它标准律器的功能。反之，如果仿制成组玉石璧的律比关系符合规定，我们可以揣测出设计者的用意，不仅仅是使成组玉石璧具有良好音乐性能，可作极有可能是经过人为设计，使其可以承担标准律器功能。
（五）几点推论
综上，可以归纳本课题拟解决的问题，即我们为什么选用成组玉石璧作为承载物？它们又是否可以作为标准律器呢？
1.“同律度量衡”改革，首先要解决的是“律度”关系问题。我国古代运用器物的长短度数表示律长。因此要换算律长与度长的关系，必须找到用以作为标准器的古乐器。由于管乐器和弦乐器在考古保存上的困难，使得学界一直没有考古实证可以研究。成组玉石璧的出土，可以成为演算“律度”的可靠器物。
2. 成组玉石璧本身具有良好的音乐性能，这已经得到证明，那么能否继续证明成组玉石璧可被作为标准律器呢？随着现代声学的发展和物理学技术的不断进步，研究这一课题的技术手段已经成熟，我们可以通过现代声学测音和数学分析方法，从多方面研究成组玉石璧的音乐声学特征，并作律比换算。
3.近年来，诸多海内外学者对中国律学研究的兴趣日趋浓烈，许多研究成果和方法也被吸收和借鉴到国内。尤其是美籍华人学者程贞一先生对曾侯乙编钟的研究，其采用的半音音阶推算方法，更是使得单纯计算管长来生律的局限性有了较大突破。因此，从这个角度讲，选定此题在理论上具备一定的合理性；在技术上，也具备了相当的可行性。
4. 在研究方法上，本文采用的半音音阶生律方法，由程贞一先生首提，用在曾侯乙编钟的研究中。将半音音阶生律法用在玉石璧的研究中尚属首次，同时将大小半音、三分损益的生律方法与数学分析法进行结合，研究玉石璧的音乐性能，具有一定的创新性。如果能证明玉石璧可以作为标准律器，对于研究我国早期“同律度量衡”制的改革，具有重要意义。
二、成组玉石璧的律比演算分析
（一）选用标本
以三星堆遗址（真武仓包包）出土玉石璧（以下称“原璧”）的原始数据，及复原调音实验制作的成组玉石璧（以下称复原璧）数据为例（见表1）。
表1 三星堆原璧与坯璧、复原璧的音乐声学对照表
(制表：沈博日期：2006年11月)
（二）该组玉石璧已测音高之间的律比关系
根据上文对半音音阶推律法、三分损益法原理的介绍，采用实证方法对该组玉石璧作律比关系进行换算。
1.单件璧演算方法示例
首先取音乐学C2的频率16.3515978313Hz，约值16.35Hz；此频率的对数为 1.21356019708，作为常数值。因为一个八度为1200音分，其频率比为2，又比例常数为n = 1200/lg2 = 3986.31371386。假设我们需要求出87GSZJ：13 （原出土号，该件璧排在上表第一位，下同）石壁实测频率下的理论音分值，可通过以下计算求得：
先求出87GSZJ：13 石璧3121.82Hz的对数与16.35Hz的对数之差。lg3121.82－lg16.35 = 3.49440789－1.213560197 = 2.2808477，将2.2808477×3986.31371386 = 9092.175，即9092.175音分。
同理可知，通过实测音分可求得87GSZJ：13 石璧的理论频率值：87GSZJ：13石璧的物理音高为G7-16，C至C7为8400音分，C7至G7为700音分，则实测音分为9084音分。9084/3986.314+1.21356 = 3.498，然后计算其对数，计为10的3.498次幂，得3104.560Hz。这3104.560Hz就是9084音分的频率。
2.出土11件璧的全部计算结果
以统计表显示全部计算结果（见表2）：
表2 三星堆成组玉石璧与实测音分比较以及假定基音理论值分析(制表：胡岩制表日期：2012年4月20日)
分析上表计算结果可以看出：
1.全部玉石璧理论与实测音分误均在绝对值10音分以内
根据现代声学测量研究，相差10音分内，人耳也能察觉，但无法说出具体相差多少音分。差值在10音分之间，可见差值之小，这种比例关系的符合，是极为精确的。由此可见，此组玉璧确为符合以8/9为律比值的生律规律，各音之间存在一定的律比关系。这种律比关系，是存在先验的理论预设情况下，经过设计而成的，并以计算结果为基础，按照一定音高概念制作出了该组玉石璧。检验方法如下：
任取出87GSZJ：1 件石璧3978.20Hz的对数与16.35Hz的对数之差。lg3121.82－lg16.35 = 3.5996866－1.213560197 = 2.386126将2.2808477×3986.31371386 =9511.849，即9511.849音分。
同理可知，通过实测音分可求得87GSZJ：1 石璧的理论频率值：87GSZJ：1 石璧物理音高为B7+15，C至C7为8400音分，C7至B7为1100音分，则实测音分为9515音分。该件璧器理论音分与实际音分差值为9511.849－9515=3.151音分。
任取一件璧器进行计算，结果都在此范围之内，且全部玉石璧理论与实测音分误差均在绝对值10音分间，即使是最大差值也仅为8.792，这就充分说明该组玉璧是具有设计性的符合律比关系的一组具有极强音乐性能的璧器。
2.选用两件璧加以验算
在成组玉石璧中任取一件87GSZJ：4石壁，假定其为给定基音情况下，理论与实测音分误差同样均在绝对值10音分间。
检验方法如下：
将87GSZJ：4石壁，设为给定基音，通测剩余10件石壁之理论音分，与实测音分相比较，误差值也同样在绝对值10音分内。
再任取出87GSZJ：3 石璧1098.12Hz的对数与16.35Hz的对数之差。lg1098.12－lg16.35 = 3.046498－1.213560197 = 1.8270896。将2.2808477×3986.31371386 =7283.353，即7283.353音分。
同理可知，通过实测音分可求得87GSZJ：3 石璧的理论频率值：87GSZJ：3 石璧物理音高为#C6-25，C至#C6为7300音分，则实测音分为7275音分。该件璧器理论音分与实际音分差值为7283.353－7275=8.353音分。
由此可知，该组玉璧可以任选基音，通过律比关系计算，得出剩余全部璧器的理论音分，而这些理论音分同实际测试结果所显示的璧器音分值基本吻合（理论值与实际值的绝对值差均在10音分以内）。由此说明：成组玉石璧可以用于调校音列，不仅仅是因其具有极强的音乐性能，符合律比关系的打击乐器，而且还可以承担标准律器功能。而这种调校方法，不是我国先秦时期的《管子•地员》以及《吕氏春秋•音律》所记载的“三分损益法”，而是《史记》中记载的符合现代声学原理的以8/9为比值计算大小半音律比关系的调校方法。
（三） 模拟推算复原仿制成组玉石璧理论上的音乐测量值与实测结果同样符合
全部仿制石璧按音列排列，音名如下：
C6 #C6 D6 E6 F6 G6 A6 B6 C7 #C7 D7 #D7 E7 #E7 F7 #F7 G7 #G7 A7 #A7 B7 #B7 C8 #C8 （其中黑色部分为按照同一调式排列，成组玉石璧所缺之音名）。
将原十二律C G D A E B #F #C #G #D #A F依顺序排列，可得
C #C D #D E #E F #F G #G A #A B #B。
将成组仿制石璧各音名与十二律各音名之间进行比较计算，其各律间的比例关系为：81、2048/27、72、16384/243、64、无、131072/2187、572/9、54、4096/81、48、32768/729、128/3。
检验方法如下：
任取87GSZJ：4石璧与87GSZ J：5石璧，以其实测音分所得之理论频率相比较，则有A7/E7=2666.859/3523.709=0.756833=48/64=3/4+0.007，这是大半音。
任取87GSZ J：18石璧与87GSZ J：19石璧相比较，则有#C7/#D7=2243.882/2494.595=0.8994975=（2048/27）/（16384/243）=8/9+0.011，这是小半音。
任意两件璧器，两两相推演，均在相生比率之间。由此可见，即使是复原仿制的成组石壁，在律比关系上也符合8/9为比值的大小半音生律规律。也就是说，成组玉石璧在设计之初，就已经预先设定了其具有调校音列的功能，这种功能是经过人为策划的，通过复制可以得到验证。不仅仅可以从理论上证明，也可以在实践中加以检验。因而，成组玉石璧可以承担标准律器的功能，不是偶然的巧合，而是确定无疑经过设计的，只有这样，才可以解释以上三种方法均得出的符合半音音阶生律规律的演算结果。
结论
综合上表中计算结果以及以上分析，可以看出：成组玉石璧的良好音乐性能，是经过人为设计和加工而产生的；成组玉石璧具有明显可以作为律器的特征，音阶符合大小半音生律方法产生的律比关系；律比关系的产生，不是偶然的，而是由人为精密设计得到的。由此，我们推测：成组玉石璧可以作为标准律器，承担“同律度量衡”标准器的功能。
我们以相同方法，对陕西商州市东龙山遗址第78号墓葬出土的8件玉石璧以及其他遗址出土成组玉石壁进行演算，得出相同结论（此略）。由此可知，本文所用求证的方法，对每一组音乐声学测量构成音阶关系的玉石璧均适用。换言之，凡是通过音乐声学测量构成音列或音阶关系的成组玉石璧，均具有作为标准律器的可能性，并可以通过演算证明，成组玉石璧具有承当标准律器的功能。
责任编辑：郭爽